Geometrická formulace Lagrangeovy mechaniky

Geometrická formulace Lagrangeovy mechaniky byla tématem mé bakalářské práce, kterou jsem vypracoval ve spolupráci se svým školitelem doc. Jiřím Podolským.

acrobat icon Geometrická formulace Lagrangeovy mechaniky (.pdf, 648 kB)

Pokud vám výše uvedený název mé bakalářské práce nic moc neříká, můžete si dále přečíst alespoň část jejího úvodu, která snad napoví více, případně její abstrakt. Jestli ani to nepomůže, s klidem na tuto práci zapomeňte – téměř žádné obrázky k prohlížení v ní totiž nejsou :-).

Úryvek z úvodu

Teoretická mechanika, do níž Lagrangeův formalismus spadá, je bezpochyby základním kamenem teoretické fyziky. Počátky moderního pojetí mechniky lze nalézt již u Galilea či Descarta, avšak zásadní význam mají zejména Newtonovy Principie publikované v roce 1687.

Lagrangeova mechanika je jinou formulací klasické mechaniky, poprvé uvedenou v roce 1788 Josephem Louisem Lagrangem. Její praktický význam spočívá zejména ve výrazném zjednodušení popisu a řešení mnoha fyzikálních problémů oproti newtonovské formulaci zákonů mechaniky.

Radikální rozvoj matematických metod užívaných ve fyzice v minulém století vedl k možnosti přeformulovat Lagrangeův formalismus do elegantního jazyka diferenciální geometrie.

Abstrakt

Předložená práce ukazuje možnosti aplikace diferenciální geometrie na Lagrangeův formalismus. V první kapitole jsou položeny základy geometrické formulace Lagrangeovy mechaniky, je ukázán význam tečného bandlu konfigurační variety a dynamického vektorového pole, které řeší Lagrangeovy rovnice v jejich geometrickém tvaru. Je zformulován a dokázán také významný teorém Emmy Noetherové. Druhá kapitola pak zavádí další geometrické pojmy související s Lagrangeovým formalismem v jeho geometrické podobě, a to zejména fíbrovaný prostor, lifty, vektorové pole druhého řádu a Lagrangeovo vektorové pole. Ukázána je také existence symplektické struktury a hamiltonovské dynamiky na tečném bandlu konfigurační variety.